Giải bài 6.23 trang 18 sách bài tập toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống...

Đề bài :

Tìm các giá trị của tham số m để phương trình \({x^2} - 2(m - 1)x + 4{m^2} - m = 0\) (1)

a) Có hai nghiệm phân biệt

b) Có hai nghiệm trái dấu

Phương pháp giải :

Bước 1: Tính giá trị của ∆ (∆’)

Bước 2: Áp dụng điều kiện để BPT có hai nghiệm phân biệt là ∆ (∆’)  > 0 và điều kiện để BPT có hai nghiệm trái dấu là ac < 0 ta thu được BPT bậc 2 ẩn m

Bước 3: Giải BPT bậc hai đã tìm được

Bước 4: Kết luận giá trị của m tương ứng trong từng trường hợp

Lời giải chi tiết :

Tam thức bậc hai \({x^2} - 2(m - 1)x + 4{m^2} - m = 0\) có ∆’ = \({(m - 1)^2} - 4{m^2} + m =  - 3{m^2} - m + 1\)

a) PT (1) có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi ∆’ > 0 \( \Leftrightarrow  - 3{m^2} - m + 1 > 0\) \( \Leftrightarrow \frac{{ - 1 - \sqrt {13} }}{6} < m < \frac{{ - 1 + \sqrt {13} }}{6}\)

Vậy với \(m \in \left( {\frac{{ - 1 - \sqrt {13} }}{6};\frac{{ - 1 + \sqrt {13} }}{6}} \right)\) thì PT (1) có hai nghiệm phân biệt.

b) PT (1) có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi ac < 0 \( \Leftrightarrow 4{m^2} - m < 0 \Leftrightarrow 0 < m < \frac{1}{4}\)

Vậy với \(m \in \left( {0;\frac{1}{4}} \right)\) thì PT (1) có hai nghiệm trái dấu.