Bài 3 (4.25) trang 73 vở thực hành Toán 7: Bài 3 (4.25). Cho tam giác ABC và M là trung điểm BC. Giả sử AM vuông góc với BC...

Đề bài :

Bài 3 (4.25). Cho tam giác ABC và M là trung điểm BC.

a) Giả sử AM vuông góc với BC. Chứng minh rẳng \(\Delta ABC\)cân tại A.

b) Giả sử AM là tia phân giác của góc BAC. Chứng minh rẳng \(\Delta ABC\)cân tại A.

Hướng dẫn giải :

Tam giác cân là tam giác có hai cạnh bằng nhau.

Lời giải chi tiết :

a)

Ta thấy hai tam giác ABM và ACM vuông tại đỉnh M và có:

MB = MC

AM là cạnh chung

Vậy \(\Delta ABM = \Delta ACM\)(hai cạnh góc vuông). Do đó AB = AC hay \(\Delta ABC\)cân tại A.

b)

Kéo dài AM một đoạn MD sao cho MD = MA.

Hai tam giác MAB và MDC có

MB = MC (theo giả thiết)

\(\widehat {AMB} = \widehat {CMD}\)(hai góc đối đỉnh)

MA = MD (theo cách dựng)

Vậy \(\Delta MAB = \Delta MDC\)(c – g – c). Do đó AB = DC (1)

Mặt khác \(\Delta ACD\)có \(\widehat {CAD} = \widehat {BAM} = \widehat {CDM} = \widehat {CDA}\)

Vậy \(\Delta ACD\)cân tại C và do đó AC = CD (2)

Từ (1) và (2) suy ra AB = AC hay \(\Delta ABC\)cân tại A.