Bài 4.37 trang 87 Toán 7 tập 1: Cho M, N là hai điểm phân biệt nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB sao cho AM = AN. Chứng minh rằng MB = NB và góc AMB bằng góc ANB...

Giải bài 4.37 trang 87 SGK Toán lớp 7 tập 1 Kết nối tri thức với cuộc sống  - Bài tập cuối chương 4 tam giác bằng nhau

Đề bài :

Cho M, N là hai điểm phân biệt nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB sao cho AM = AN. Chứng minh rằng MB = NB và góc AMB bằng góc ANB.

Bài giải :

M và N là hai điểm phân biệt nằm trên đường trung trực của AB với AM = AN nên M và N có vị trí như hình vẽ trên.

Gọi O là giao điểm của AB và MN, d là đường trung trực của AB nên d ⊥ AB tại trung điểm O của AB.

Xét tam giác OAM (vuông tại O và tam giác OAN (vuông tại O) có:

OA là cạnh chung;

AM = AN (theo giả thiết).

Vậy ΔOAM = ΔOAN  (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

Suy ra OM = ON (hai cạnh tương ứng) và ∠AMO = ∠ANO  (hai góc tương ứng).

Xét tam giác OBM (vuông tại O) và tam giác OBN (vuông tại O) có:

OB là cạnh chung;

OM = ON (chứng minh trên).

Vậy ΔOBM = ΔOBN  (hai cạnh góc vuông).

Suy ra MB = NB (hai cạnh tương ứng) và ∠BMO = ∠BNO  (hai góc tương ứng).

Ta có ∠AMO = ∠ANO  (chứng minh trên) và ∠BMO = ∠BNO  (chứng minh trên) nên ∠AMO + ∠BMO = ∠ANO + ∠BNO 

Mà ∠AMB = ∠AMO + ∠BMO  và ∠ANB = ∠ANO + ∠BNO 

Suy ra ∠AMB = ∠ANB